Nombre de montées \(N_n([a,b],\alpha)\)
Valeur décrivant le nombre de fois qu'une suite de réels \((\alpha_n)_{n\in\Bbb N}\) est "montée" de \(a\) à \(b\) avant le rang \(n\) : $$N_n([a,b],\alpha)=\sup\{k\in{\Bbb N}\mid T_k(\alpha)\leqslant n\}$$

• on a aussi l'expression \(N_n([a,b],\alpha)=\) \(\sum_{j=1}^{+\infty}\Bbb 1_{\{T_j(\alpha)\leqslant n\} }\)
• on a aussi \(N_\infty([a,b],\alpha)=\) \(\sup\{k\in{\Bbb N}\mid T_k(\alpha)\lt +\infty\}=\sum_{j=1}^{+\infty}\Bbb 1_{\{T_j(\alpha)\lt +\infty\} }\)
• \((T_k(\alpha))_{k\geqslant1}\) est définie par \(T_1(\alpha)=\) \(\inf\{n\gt S_1\mid\alpha_n\geqslant b\}\) et \(T_{k+1}(\alpha)=\) \(\inf\{n\gt S_{k+1}(\alpha)\mid\alpha_n\geqslant b\}\)
    
• \((S_k(\alpha))_{k\geqslant1}\) est définie par \(S_1(\alpha)=\) \(\inf\{n\in{\Bbb N}\mid\alpha_n\leqslant a\}\) et \(S_{k+1}(\alpha)=\) \(\inf\{n\gt T_{k}(\alpha)\mid\alpha_n\leqslant a\}\)
• intérêt : \((\alpha_n)_{n\in\Bbb N}\) converge dans \(\overline{\Bbb R}\) \(\iff\) \(\forall a,b\in{\Bbb Q}\) tq \(a\lt b\), on a \(N_\infty([a,b],\alpha)\lt +\infty\)
• si \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est adapté, alors \(S_k(X),T_k(X)\) et \(N_n([a,b],X)\) sont des Temps d'arrêt
    
• \(N_n=([a,b],X)\) est donc \({\mathcal F}_n\)-mesurable

Questions de cours

Démontrer \((\impliedby)\) :

On procède par l'absurde et on choisir \(a\) et \(b\) entre \(\varliminf\alpha_n\) et \(\varlimsup\alpha_n\).

Le fait qu'il y ait une infinité d'aller-retours donne directement une contradiction.

Démontrer (pour \(T_k(X)\)) :

Il suffit de montrer que les événements sont mesurables pour la bonne tribu.S

C'est vrai car on a une décomposition.